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El problema de los golpes críticos de Fire Emblem

Introducción

Me topé con esta imagen en Discord el otro día:

Algunos comentaron que la probabilidad de que ambos golpes sean críticos es del 25%. Otro compartió captura de pantalla de un foro donde argumentaban que la probabilidad es del 33%. Intrigado, decidí echar cuentas.

Demostración

Usando el teorema de Bayes:

Donde:

$P(A|B)$ es la probabilidad de que ocurra el evento $A$ si ocurre el evento $B$.

$P(B|A)$ es la probabilidad de que ocurra el evento $B$ si ocurre el evento $A$.

$P(A)$ es la probabilidad de que ocurra el evento $A$.

$P(B)$ es la probabilidad de que ocurra el evento $B$.

Sea $A$ el evento donde ambos golpes son críticos

Sea $B$ el evento donde al menos un golpe es crítico.

Como la probabilidad de crítico es siempre 50% (se supone que cada golpe es un evento aislado que no afecta ni es afectado por los resultados de los otros golpes), la probabilidad de que ambos golpes sean críticos es $0.50 \times 0.50 = 0.25$, es decir

Si ambos golpes son críticos, entonces al menos uno de ellos es crítico. Lógica básica, por ende

La probabilidad de que al menos uno de los golpes sea crítico es más interesante de calcular.

Sea ⭕ un golpe crítico y sea ❌ un golpe no crítico. Los resultados posibles para dos golpes son:

1. ❌❌

2. ❌⭕

3. ⭕❌

4. ⭕⭕

Esto suponiendo que es 50% probable asestar un crítico, así como es 50% probable no lograrlo.

Y es aquí donde yace la disputa del problema: ¿Cuál es el valor de $P(B)$?

Si vemos todos los resultados posibles, en tres de ellos hay mínimo un ⭕, lo que significa que en 3 de 4 casos ocurre al menos un golpe crítico, es decir

Pero la mona china dice que al menos uno de los golpes es crítico, por lo que el primer escenario se descarta de todos los casos posibles, siendo entonces:

1. ❌⭕

2. ⭕❌

3. ⭕⭕

Ahora en todos los casos hay mínimo un ⭕, ¿entonces $P(B) = 1$?

El teorema de Bayes solo aplica para eventos mutuamente excluyentes, es decir, cada golpe es un evento aislado que no afecta ni es afectado por los resultados de los otros golpes.

No debemos caer en la trampa de la mona china y establecer que $P(B) = 1$. Hay que permanecer firmes y declarar que $P(B) = 0.75$.

Sustituyendo $(2)$, $(3)$ y $(4)$ en $(1)$:

Por lo tanto, la probabilidad de que ambos golpes sean críticos es del 33%. De nada, Robin.